被日本真题"爆杀"后,我重学了一遍微积分
为什么还有考数列的,怎么高中的东西拿过来了,想起了不好的回忆。这要是考场上给我整出来一道贼创新的数列,我当场能气晕过去。跑不掉的,这也算是重新面对的机会了。考的太广泛了,我总感觉这些学校真是想到什么考什么,有些学校考的偏一点,还要专门为了一个学校复习。东京科学大学还要考一门什么数理逻辑,我都没听说过。下次去日本我得逛逛他们那种普通的书店,感觉我不知道的有点多。我看日漫里还有专门备考某一个大学的书,整两本看看。
再给你一题高数的。不能细想朋友,我这还有数列求极限的题。见世面了。不过很多有日语,你题没法读。给你做做数列求极限。sin hx不用管,直接求右边。这几题应该是日本前几名大学的过去考题。他们一门学科考的题不多,所以很多都不能用常规解法。我感觉很吃理解:你要是理解到位了八成一下子就能解出来,但是没深入理解的话,就会变成计算量贼大还算不出来的题。这一题就是常规的知识点,要反用一下泰勒公式,泰勒公式用到数列里面去了,这才第一问。不过我也不会,我已经开始慌了怎么办。我做完这题之后一定会背的。咱这还当成个知识点呢,这边泰勒公式都变成常识出其不意的放在各种题里了。这得多做题,不然我都不知道我理解的这么浅。我前段时间对我的微积分很自信呢。我基本都是能当时看出来问题的就直接给理解到位。做题才能更深的检测问题。选择题都没有,真就0分了。我目前看到的都是大题,没见有学校考选择。你那伪证的前提是知道题目大概是什么样的,都有什么类型。我也很懵逼。我去年以为是我日语不会导致的,现在日语会了还是看不懂。知识点基本一致。人的思想可以被封闭到这个程度,现代社会有点难以想象。理解跟不上,我得重新学。我感觉我坎坷的学习之路就此开始了。不会再有比听力更痛苦的了吧。我怎么在求极限这里就开始卡了。经此一战,有必要改一下后续计划的权重了,再怎么说,学习还是第一的。
然后我调了策略:啃书日语的书。有基础了之后可以直接做题的,做完题把知识点都给记出来,再专门看。直接针对一个知识点去找视频,找讲解资料,而不是搜一门课。我在今天之前可以自信的给你说我学会了——下午被一张真题爆杀,我现在只感觉我什么都不会。东京大学我都没敢看。好一个博览群片。
"理解是在做题时暴露的"
这题看着就那么两个式子,怎么一做就不对劲呢。就是大道至简,看题的时候都看不出来问题,一算就不知道在算什么玩意了。神人试卷。你家学校考数学就一共就考五道大题,感觉在测我智商。你说的和做题有什么关系吗。你懂的不少,你做的怎么样?你这才记这点,那你怎么学的?这不就普通的定义吗。我不记阿,我不记不代表我没感觉,碰到题的时候就全想起来了。我再给你看一道,神人题目。微积分属于数学工具,具体的知识点简单看一下就能全拾起来。线代我还没整完。我微积分都搞完了,我还有图形的没搞,二重三重。我记得不少要背的。我学到了。你想问什么?你是不是觉得我不知道微分方程是什么。我微积分都搞完了,做题就完事了。除了真题,我还要刷一整本书。你为什么要这样建议,看出来什么问题了吗。你这说的太模糊了,做题风格是什么?你做题的时候,是先识别题型还是专注于题目本身。我不觉得识别题型有很大帮助,灵活运用所有工具就行。因为过程和答案不会很为难人,算麻烦了一般就是错了。缺乏经验,这个是理解问题。我说的理解是要在做题的时候才能发现的:b^x可以不计,直接全部约掉等于a。当然做题的时候要证明一下。对于底数更大的数来说,底数更小的可以看成常量了。这道题的"极限本质",这就是我说的,在做题中才能理解的更到位,因为书上不会给你举出来这样的例子。你知道∞+1可以忽略1,你不是为了达到这样吗。这是你在用笔记学完书上的基础知识后,进入的正式的理解阶段,这些理解才是真正值得被补充在框架内的,也就是细节。你考研难度的话应该是需要的,不知道什么时候就用到了。大学考试我就不会故意往深了思考,但是留学备考我就要这样搞了,大学考试光是记记书上的就够了。
关于套路这回事:我想了一下你这个七种未定式,我都不知道是哪七种。这种先判断类型的解题方法,有一点像是:你在新手阶段,缺少经验时,正好又碰到了老师教给你的套路解法,于是你就想着判断出来是什么套路,这种感觉。但是你实际上练熟了之后,你脑子在看到那个式子的时候,基本上什么路走不通,什么路走的通,都有感觉了,直接往下算呗。你能想到的那一种基本就是较好的解法,根本不用想什么套路。不信你刷个一百道求极限,你脑子里只有求极限这一类题了,不会分什么七个定式什么的。我大一上学期,梦开始的地方。我为了转专业,把数学分数搞满分,我把一本教材和前几年的学校考题都刷完了,现在做题还有手感,感觉得有几百题。我很讨厌题海战术,但是当你刷题是为了增进理解的时候,就变得有趣了,有收获了,而不是单纯刷熟练度。一眼就能看出套路的题,我从来不做。还有我觉得,你记笔记应该为了知识点,不应该为了做题。我把从做题中的理解提炼到笔记中,也不是为了做题,而是为了丰富框架内容。对于做题方法的记录,我觉得,数学不是很有必要。如果一个知识点,在没有外部干涉的情况下,你已经没有疑惑的点了,就可以去做题了。同时就算知识点没有搞透彻也可以做题。做题是以问题为导向,会更让人有动力。道理都是如此,但是其中会有很多的畏难情绪,保持理性反思,才能克服。你也会发现,这些理解往往都有着更深层的知识,考题也倾向于去考这些思想层面的东西。
用直觉把积分和导数立起来
这有啥好复习的,教你个理解:积分就是花式求面积,啥都不用管,全是求面积。数学公式可以直接让AI帮你写。变上限积分求导的本质。极限与积分的相互转化也很重要。积分这一块,搞明白无界函数和变上限函数的本质,基本就行了,理解的透透的。可以大致理解一下,它们在求什么样的面积,而不是单纯看公式。有限个间断点,且有界,就可以推出定积分存在了吗。这是在说什么,我怎么听不懂。完啦完啦,2.10号前搞不完微积分,过年加班。我任务安排太多了,一轮全搞完了,二轮怎么办。我调整一下任务分配不就解决了吗。量太大了。干不完。还有一大堆专业课要学。照这个进度,数学三本书,三门课,一年能干这么多吗,太离谱了吧。还要练编程,还得刷leetcode。拉满了朋友。有理函数是个什么东西。速度太慢了,这学的,还有五天。好乱啊我在干嘛。过年要加班了看样子。多项式除法。绝了。这比以前学的积分难多了,这居然也能有方法。什么大道至简,这能拿来做教学题啊。我说实话我感觉自己有点笨,这都不会。以前大学考试是不是都会避免出这种。二元函数二阶偏导数的意义是什么。还能对向量求导,对向量积分,这积出来是什么玩意。这叫什么。ベクトル解析分野,向量解析。我在数学里学日语,或许数学里要背的最多的是日语。
极值、Hessian 与机器学习这一串
极值这个东西,深挖之后感觉好难啊,涉及到了优化理论。算了算了,打住,我还是先记公式吧。直接接轨到机器学习了,玩极值能把机器学习给发明出来,这都是什么天才,怎么想到的。曲面约等于抛物面,在更高维度上可以用多元泰勒展开,得出二元函数的极值证明公式。二元函数的极值证明公式实际上是Hessian矩阵的行列式,机器学习涉及到的优化方法,就是Hessian矩阵。串起来了喔,一个超大的领域就此打开。知识没有学科边界啦。说起来,微积分里有一个华莱士公式好像,我们这边没有教,可以用某些方法推出华莱士公式。如果你能理解这个公式的本质,也就可以解决更多的积分算式。理解本质后,也不需要去记忆华莱士公式。在一场大型考试之前,还特意去这么一个小知识点,显得挺蠢的。
"数学真正有意思的地方"
数学题总会变通。如果出了比较灵活的考题,就没有思路,那说明对初始题的做法的原因就没有深入的理解,只是单纯的记忆。对于题目解法的每一个步骤,都要去问"为什么",而不是在直觉上感觉很容易理解,就直接跳过了,实际上完全没有理解。这是无法应对灵活考题的本质原因。知识点永远只有那些,但是理解的方式和理解的程度则无穷无尽。比起收集所有的知识点,更难的是发现从未注意到的理解方式,或者更加泛用的理解方式。其实我个人认为,对于每个知识点,都可以专门讲很多非常泛用的理解方式,这应该是数学中最重要的一方面,但是我们的教科书从未提及,只有生硬的知识点。而至于如何理解,全靠个人和老师。就比如从高维度去理解函数,就比如从各种画维度坐标的画法,去剖析函数:有几元,几次,分别怎么去决定图像的构成。这才是数学真正有意思的地方,也是能够对解题降维打击的理解。但是,从没人提。我们教育的第二大目的,而不是把所有人培养成才。首先是筛选,其次是普及。也造就了当下,教育水平不高,科研水平不高的局面。不过平均水平上来了。我只能在清醒来之后,赶紧弥补缺失的教育资源。搞拔尖,就没有内卷;搞平均,就内卷贬值。反内卷是为了让你更舒服吗,反内卷是为了淘汰你。仔细思考时代的变化,大环境好了之后,竞争或更加激烈。
F(x,y) 与 f(x,y,z)=0
F(x,y)与f(x,y,z)=0都描述同一曲面,但是在用法上却大有不同。F(x,y)意味着,只能自由取x和y,决定F的值;f(x,y,z)=0意味着,可任取两变量,决定第三者的值。在图像中,可以理解为:f(x,y,z)=0三者变量只是名称不同,坐标系可以自由旋转,而F(x,y)只能用一般坐标系去画图,但它们描述的是同一个形状。要说到应用:事实上,F的表达本质上是用二维坐标系去计算第三个维度的值,它不可能与三维空间的向量和方程进行结合。而f则是使用三维坐标去表达曲面,它可以自由与三维向量或方程结合。这两者的转化是解决某些题目的关键。我们在求极值的时候,仅仅需要知道x与y,也就是二维的表达,这时应选择F。而我们在求切平面时,是显著的三维空间,这时应选择f。在难度更高的题目中,会更加难以选择。只有理解本质,才能应对灵活的题目。
极值的本质思想
我们根据坐标的方式理解一个复杂的形状:它拥有几个变量,就有几个可改变的方向。当在图像上给定一个点时,它并不是有无数个方向可以走,而是只有固定坐标方向可以走。如果变量同时改变,它才有无数个方向。但是,我们从最简单的入手,仅改变一个变量,则这个点只有一个方向可以移动。例如一个碗状曲面的最底部,它无论向哪里走都是上涨。你不可能证明无数个方向,那么,只需要证明每个变量代表的方向即可,这就是求极值的本质思想。偏导数代表的正是每一个变量代表的方向。有了这样的理解,你再也不需要去记忆什么极值公式了。求极值仅需要一个函数中真正的变量,所以我们不使用f(x,y,z)=0。若在题目中遇到非常复杂的f(x,y,z),那么第一步应该是转化为F(x,y)。若不理解以上的本质,这一步不可能想到。但我们又要注意到局限性:求极值所使用的是二维坐标系,但函数描述的是一个三维形状,这就导致了"梯度为0却不是极值"的点产生。梯度决定的是图像的一点所在的方向是否倾斜,而二阶导才能决定周围的弯曲方向。我们类比单变量函数,它的上涨下降,取决于一阶导数。但是,这里又会发现一个问题,就是函数图像的复杂度,也就是高次带来的影响:当出现三次函数时,二阶导则失去了作用,这说明更高阶开始主导弯曲的方向,而低阶的导数全部为0。这里就不深入了,到目前为止的理解已经可以满足考试。再高次的函数,它能移动的方向只取决于变量的数量。对于三维形状,使用二维坐标系正好用来寻找上涨和下降两个方向。梯度,散度,旋度之于复杂形状,就像斜率之于二维直线。我们要像理解斜率一样,深刻理解这些指标,才能随手把玩三次元的复杂形状。
微积分的自上而下体系
我微积分快结束了,没有万策尽。对于微积分,我就说一个东西:微积分就是用来处理复杂形状的计算的。如果你能直接把每个公式背后对于形状的处理理解到位,微积分就通关了,要有能想象出来的直观的理解。计算的时候,你要知道自己在干什么:在算面积体积密度质量,还是算弯曲程度,还是在计算走势方向,这样就能降维打击。那么构成微积分体系,你只需要一个复杂的图像,即可用它的各个特点,回想起微积分的所有工具。给你一根直线,你能回想起斜率,给你一个复杂的形状,你能回想起梯度、偏导、高阶导、多重积分、旋度、散度、体积、极值、最值、鞍点、凹凸、弧长。为了求得这些性质,你又可以回想起极限、微分、积分、导数、变上限区间、偏微分、偏导数、广义积分等等基础工具。这就是我们微积分自上而下的体系了。需要记什么?什么都不需要记忆。每一个基础工具又可以分为直观理解和解题方法。它们本质对于形状的处理又如何理解。基本就没什么了,微积分就这样了。当我们要处理一个复杂的形状时,就回想起来一整个伟大的微积分体系吧,这里的工具应有尽有。到这一步,我们的微积分就可以正式接轨现实问题的应用和机器学习、线性代数等,把它当作一个基础工具,进行更高一层的学习。目前还没怎么刷题,一轮有这样的理解应该可以了。二轮会再刷一本日语的经典教材,三轮做真题,这是为了冬季考,夏季考还会再复习。私塾的数学课真好,真是节省大量时间了。
今天把微积分完结了,下午四点之后正好休息了。我是时间管理大师。我本来晚上是准备看一个直播的,回去继续看。明天正式开线代。过年也要加班,没有节前节后之分。客观来讲,能合理休息的时间只有除夕我看拜年祭,就那几个小时。微积分结束咯。留考计划第一步。