概率论是门物理课:密度、重心和转动惯量

期望是重心。方差是转动惯量。转动惯量描述的是物体质量距离中心轴的分散程度,所以方差也称为分散。概率统计使用的方法,完全符合物理那一套,加深了我对物理的理解——从来没学过这么详细的物理。可惜数学里面没有秤,有机器学习这个秤。概率论第三章,赶上了。这几个分布函数的期望和方差的计算过程太精彩了,有时间一定要去看看。记不记得以前高中学的错位相减?数列那一块吧应该——那玩意不就是求导和积分吗。离散型分布函数:伯努利,二项分布,泊松分布。这些分布的期望,期望平方,方差,都不要硬记,都是可以很快算出来的。我这边的考试一般不允许搞这种二级结论:我们国内记那个泊松分布的期望方差,如果你直接写结果,会得零分,全部要有证明过程,推导过程。

对于分布函数的相关问题,我们全部都可以理解为我们要求解一个质量不均匀的物体的部分质量,以及部分区域的密度。就是一个公式:质量=密度x体积。所有题目都在考这个公式,绝不允许出错。你会发现,我们的目的是求质量,从来没有要求你使用积分。如果你发现了一道题目不需要使用积分,你千万不要套公式使用积分。例如,均匀分布函数,它本质就是求一个质量均匀分布的物体的质量,不需要使用积分。上次说了概率统计相关的积分问题:如果你换一个角度,你会发现,区间概率就是我们在微积分中所求的面积,本质就是定积分的应用。而不定积分呢?它有什么实际意义?它就是分布函数。但是概率论的分布函数,需要满足起点为0,终点为1,所以它没有不定积分中的那个+C,它是不定积分中被唯一确定的一条曲线。分布函数求导是密度函数:当两个分布函数的区间相差无穷小时,它就是密度函数,符合导数的定义。你可以考虑直接建立图像关联,每计算一步都知道图像是怎么变化的,这样正确率会更高。考察的内容基本相似,均为不应该出错的基础。你不应该把这两样分开看,否则你的记忆负担会增大,正确率会独立;两个一起练,效率和正确率会更高。我们可以不再以物理的角度理解,而是完全以几何图像的方式,理解概率统计和微积分前期的所有知识。

再说说积分的理解维度。你可能会把积分给当成一个整体去看,事实上,你应该把它们拆开看。从几何来看,积分符号是sum求和的标志,dx指的是微小距离,f(x)指的是x对应的函数值,那么积分式子直接翻译过来就是f(x)与dx的乘积的求和,从几何上来看,是一个个矩形面积的求和。从物理的维度来看,如果我们想要求得某一个瞬间的速度,那么公式v=s/t,一个瞬间它的时间应该是多久呢,就是dt,我们约定为dt,而这个vdt就是一个积分。稍微复杂一点,对于数学期望,我们可以将xf(x)dx看作三个变量相乘,积分符号就是求和符号。多乘了一个变量x,这意味着新增了一个维度,那么相当于我们从求面积,变成了求体积。如果你不从实际意义出发,求期望其实就是在求一个复杂物体的体积,跟矩阵计算有相同点。这个概率密度函数,它的这个密度说的不是三维物体的密度,是二维物体的密度,所以它有一定歧义——这个概率密度它是一个面密度,所以乘以面积,得到的是二维面的质量。期望是二维面xdx的质量,概率是一维线dx上的质量。求期望,就是体积的加和,没有任何难以理解的东西。顺着这个思路,我问了一下AI:我说这个概率和时间空间会不会有关系呢?量子力学——在空间的某一点,概率的大小取决于波在这个位置的振幅,概率在这里完全变成了空间的一个物理属性。还真有关系。质量,空间,时间,概率啊,这几个玩意是不是都是统一的啊?

卷积能够揉合两个分布函数,这在其公式的推导中会有所体现。同样的,卷积公式依然不应该背诵,很容易推出。卷积公式在线性代数有非常大的用处,可以关联学习。微积分,概率统计和线性代数,基本上不分家了,关联太强了,难怪日本放一起考。协方差公式可以使用直观理解,不需要记忆。协方差的公式与线性回归相关,所以它只能判断线性关系,我们可以关联到协方差矩阵,使用logseq埋下链接。条件数学期望,足迹推测身高,有点意思,可以看看。重期望公式:如果你想计算一个变量的平均值,可以先计算它在不同条件下的局部平均值,然后再对这些局部平均值求加权平均——这就是重期望。每天随机跑N圈,每圈长度随机为Xi,那么你长期跑步的平均总长度,就是"平均每天跑的圈数"乘以"每圈的平均长度"。是一个极具规律的底层性质,我每次学数学都能感觉到它的存在。这是一个链条:不定积分→分布函数→多维随机变量→协方差→协方差矩阵。知识点在我们脑中应该是网状结构,不能被课本的线性内容所局限——这就是把线性表转化为图的数据结构的过程,图搜索更加利于解题。能出题的知识点一定有某种联系,所谓缺少灵感就是你脑中那张知识图不够完整。再次提醒框架的重要性。我基本可以判断,我的数学能力比前两年有大幅提升。这三门数学,我从来没有学到这么深入,当然也是为了满足高难度考试,大学考试确实不需要学多深。我还是同样的观点:不管是微积分还是概率论还是线性代数,你在计算的时候要知道自己在做什么,有什么实际意义。如果只是单纯的套公式,那这就是毫无意义的抽象符号,你什么都没有学到。想想也知道,出题人不可能让你这种人过关。还有个习惯:每一句话都要问为什么。

这个概率论的一大堆定义是人看的吗,下周直接做题用具体例子理解吧。拉普拉斯中心极限定理,矩母函数……先不管了。还有一段往深处想:每个人对于难度的理解都是相同的,人脑没有多少区别。对于所谓的难题一定有降维打击式的方法,使其理解难度降低,所以,如果你被难住,肯定是方法或工具的掌握没到位,或者基础知识点没理解好,从来不是智商的问题。你会发现,你小时候的成绩几乎完全取决于家庭环境——因为家庭环境塑造了你的行动。在大脑还未发育成熟,个人意志还未形成时,教育筛选的是家庭背景。九年义务教育显然不是很足够,应该再给几年时间的。今天把概率论结束了,后面概率论进行短期的习题巩固阶段,到4月中旬结束。概率论最后了,还差参数估计,今天结束。概率统计完结撒花。这种事情发生的概率非常非常大,积极应对,继续坚持。