四月开局,我把微积分"拆"了一遍

数据结构的复习就结束了,后面全部改为数据结构习题任务。还有什么动态规划?我怎么没学过。不过数据结构就不跟四月中旬一起结束了,数据结构尽量在五月结束,避免跟英语考试撞车——英语考试前需要一段时间的冲刺,在那之前其他任务都得完成,冲刺期间只学英语。

转头扎进微积分。这泰勒公式这么简单,我经历了什么。积分那一块考得太难了,我现在看别的题都没有感觉了。平面点法式可以直接代入向量,不需要代入点:我们求这些平面的公式,它们的统一思想是利用基础性质,间接把未知量的范围锁定在一个平面内。不是让你真的构造一个平面,而是把未知量的范围锁定在一个平面内:只要你有东西能把未知量全部锁定在一个平面内,那这个式子就是平面公式。直线与平面,考察的是你在空间内操纵向量的能力,我们要提升这个方向。

行列式:从本质推性质

来从行列式的本质,谈一谈为什么行列式具有那些性质。我们知道,行列式的本质是对空间的线性变换:当它对空间内的一个单位正方体进行线性变换时,行列式的值就是该单位正方体被变换后的体积。行向量是决定维度的,如果某一行乘以k倍,那么体积是不是也多了k倍,所以行列式某一行乘以常数k,行列式扩大k倍。在二维平面上,如果你把x轴和y轴互换,那么这是一种镜像翻转,因此交换两行(或两列),行列式变号。还有一个:某行加上另一行的k倍,值不变——这个叫做侧推。对整个空间进行侧推,原来的正方形变成了平行四边形,但是由于高和底没有改变,所以它的面积不变,行列式不变。

上三角矩阵为什么跟对角矩阵的值是一样的呢?从最基础的三维空间开始,你会发现,每往下一行,行向量就少一个维度。对角矩阵,只有对角线上有数值,它的每一个行向量都只对相应的一个维度产生影响;而上三角矩阵,上面的行向量会对下面的行向量的维度产生影响。我们发现,这就是上次所说的侧推问题:只要保证高和底是一样的,那么高维向量对于低维向量的影响是无关紧要的,高维向量永远无法"污染"低维向量。事实证明,上三角行列式值等于对角行列式。

一个n维空间,由相互垂直的n个一维行向量构成,这是我对于空间的定义。只要你拿到一个n*n的矩阵,它一定可以在值的层面化简为对角矩阵,除了对角线上的值,其他全是无关紧要的干扰。行列式是可以展开的,想怎么拆怎么拆:书本只是为了计算才教你那些模板方法,实际上可以进行的处理是非常自由的。做数学题是可以全部使用几何理解的,几何理解更直观,便于大脑处理,或许更贴近本质。图像理解是对数学题的降维打击。

泰勒、拉格朗日与收官

二元函数泰勒展开,没完没了。求极值最值这一块,有一个拉格朗日的思想,这个思想貌似也非常非常通用,在很多地方都有。我们学一个思想的目标是能够自由使用,而不是记公式——思想是灵活的,应该可以在所有满足条件的地方自由使用。除了数学归纳和莱布尼茨,还有第三种求解高阶导数的方法:还是泰勒公式,泰勒公式里面就有高阶导。我还发现,数学题中需要讨论多种情况的题目,它们貌似只有那么几种类型需要讨论,我慢慢标记一下,看看统计出来是不是只有那么几种类型:如果是的,那么情况讨论的问题就不会再漏了。

任务完成量有下降趋势,这是由于增加了数学习题量,假期计划砍掉了次要任务,抓紧弥补数学进度。完成5个任务是底线,后面不会再少了。明天结束微积分习题,后天做一下微积分的笔记整理,微积分的二轮就正式结束了。目前来看,有可能在四月中旬赶得上。

然后,微积分就结束了。我感觉我已经把微积分的所有内容全部记住了:我的笔记记录了所有考试需要的知识点,记录了上百道题目的公式、理解和思想,了如指掌。我们这边的课和习题一搭配,虽然非常难,但是学习效果已经登峰造极了,比那些年龄大的老师讲得好多了——学生懂学生。今天学习时间创新高了,精力管理有效果的:严格来算,我以前每天专注时间平均5小时吧,现在可以轻松达到6小时。

有一说一,微积分弄过来弄过去,也就是加法和乘法。