数学的直觉陷阱:把计算步骤改成逻辑步骤

组会上我讲的是,从积分本质串联理解定积分、不定积分、变限积分、分部积分、反常积分、广义积分、二重积分、三重积分——本质全部相同,没有区别。我会讲讲这些东西的公式是怎么推导出来的,包括三重积分怎么从0积一个三维物体。线代就比较惨:我们这边教线代的挺牛逼,我们书上唯一两章向量和向量空间的内容被老师整章跳过了,完全避开所有重点和简明性;不过我是自修,没去上课。后来发现,线代的体系是很浓缩的。行列空间曾经把我绕晕:行向量的数量是行空间的维度,一个矩阵的秩的数量貌似是用行向量的数量表示的,那矩阵就默认处于行空间;行空间、列空间、解空间,空间之间貌似有什么正交关系,求解x时,矩阵少的维度转移到了解空间的维度。MIT那个老爷子把这些空间比作垂直三角形的三条边,类似勾股定律一样的感觉;他的课我也没听完,后面我得好好补补,毕竟没做题,理解完全没跟上。

计算方法课上的范德蒙行列式讲得很透:我在一个图里随便标几个点,我要用一条曲线去穿过所有点;然后把图里的点一个一个代入这个万能的曲线函数里,组成的多项式就是范德蒙行列式。计算这个范德蒙行列式,就能计算出这个拟合曲线的函数,然后就找到了一条或许准确的能够穿过所有点的曲线;这个矩阵没有什么几何意义,因为不是用来做图像处理的,做数据可视化会用到它,你只要知道这玩意是拟合曲线用的就行了。

直觉陷阱

这一篇是我之前提的关于直觉陷阱的问题,主要有两个点:我们的大脑擅长直觉跳跃,但是这中间的论证是缺失的;对于中等题目来说,这不太会影响正确率,但是对于简单题和高难度题,会极大影响正确率。为了应对,我们主要参考两个人的思想:首先是How to prove it的作者——如何把逻辑规则变成证明策略:Scratch Work草稿思维,怎么把数学直觉翻译成逻辑严密的证明语言;我们需要首先搞清楚我们的目标是什么,即我们要证明的结论,前提是题目条件以及中间推导的条件。为了保证我们能够进行严谨的逻辑推导,我们必须对我们的思考使用逻辑符号进行拆解;因为我们这么多年一直依赖心算,没有人教过我们逻辑,大脑未被训练用形式语言思考。这里再引入陶哲轩的理论:我们极大多数人包括我,依然处于阶段一——靠例子、直觉、模糊概念理解数学。我看后面两个阶段根本看不懂,如果应对顶尖学校考试的话,应该得达到阶段二吧;不过只要有直觉的话,应该还是可以通过知识点理解和刷题熟练度这种正常方式获得的,再往上真的难了。这么多年来搞不定直觉陷阱的问题,也就合理了。

也能落地:我会考虑在每一次做题思考时,都想一下我的直觉告诉我什么,哪些是没有经过可视化符号逻辑验证的;我会尝试把数学题解答的计算步骤转化为逻辑步骤,换一种写法——不再写计算步骤,而是写逻辑步骤。我觉得我们传统的数学步骤是跳过了逻辑链条的,以后写步骤要加上逻辑,强制自己去用详细的逻辑链条思考;我觉得当我能够主动发现一次马虎的错误时,这个问题可能就要被解决了。这个问题不是光知道就能解决的,需要系统训练。其实它也验证了一个道理:我们在学习中遇到的问题,同样也是我们获取进步的机会,每一个问题都是一个进步的大门,一定不能忘记你的问题。

数学和专业课转入慢节奏:每周至少一章内容,然后每周准备一次组会讲解内容,算作数学的复习了。连我的AI都看不下去了,它让我别学数学和专业课了。不过方法都是那么个方法:做题检验学习成果,拿到反馈,发现问题解决问题,然后再去做题,就这样反复学习。