七天学完线代:矩阵是空间的一场变形

线性代数,这玩意就是真实维度,很好理解,跳过。我发现,如果用行向量去组成一个空间,这个空间实际上是行空间。转置矩阵,不就是把列向量变成行向量吗?所以可以从这里入手。注意昂,我说的全都个人理解,与课本完全无关,仅供参考。

秩:就是真实维度数

先来研究列空间。比如这个矩阵有两个三维的列向量,只有两个,所以这个矩阵在三维的列空间当中构成的是一个平面;而在行空间,有三个二维行向量,它们构成的是整个二维空间。我们发现,列向量的数量是真实的维度数,也就是秩,而行向量的数量是列空间的维度数。这样不规整的矩阵,它的作用是改变原空间的维度:一个三维列向量的第三个维度的数字直接被删除,变成二维列向量,这样便是降维。最终都要看行向量的数量——行向量是一个过滤器,最终的结果是处于列空间的,矩阵就是这样的一个变换。它还是一个线性变换,保持着加法和乘法。

书上定义的什么玩意:什么r阶子式不为0,r+1阶子式全为0。秩就是真实维度数,哪那么麻烦。0矩阵的秩为0,零矩阵就没有空间,肯定没有维度啊。初等行变换不影响秩,这是因为:真实维度是由相互垂直的行向量构成的,初等行变换不会干涉到行向量之间的垂直关系,因而无法影响秩的数量。极大线性无关组,就是我所说的相互垂直的行向量——x、y、z轴,这就是三维空间的极大线性无关组,三个轴,秩为三,维度为三。

求逆、特征值、对角化

矩阵求逆,非常好的表现了矩阵的线性变换的本质:对于AB,意味着先变换B,再变换A。如果要求逆,我们应该先撤销A再撤销B:先进行B再进行A,那么如果我想逆回去,肯定要先抵消掉最后一步操作A,再抵消第一步操作B,这一理解让我们得以求得矩阵的逆。

来说说特征值λ。这说明变换后的α方向没有改变,而模变长了,模伸缩的倍数就是特征值λ。特征值的本质就是,矩阵对空间变换后,某个方向上伸缩的倍数;这个被伸缩的方向称为固有向量,它不会因为空间的变换而改变方向。而矩阵本身就是伸缩比例:如果一个矩阵只有对角线有数字,那么每一行的对角线分别对应着加长x、y、z轴的比例。如果对角线上的数字全是1,其他全为0,则这就是空间直角坐标系,单位全为1,这个矩阵被称为单位矩阵。

相似矩阵:矩阵乘法不可以交换顺序,这导致了A和B不相等,只能相似。我举一个简单的例子:我们对一个机器人设置指令,分别进行P、A、P的逆——向右旋转90度,前进2米,向左旋转90度,这结果显然不等于直接向前进2米,因为A作用的空间是已经被P改变后的空间,而不是原始空间。但是,我们称它为相似,因为客观来看,它们的作用效果是相同的,所以相似矩阵的特征值等各方面全部相同。相似矩阵本质就是同一个矩阵,只是它们处于不同的空间,所以只能称为相似。空间不改变矩阵本身的性质,所以它们的特征值相同。

对角化:我们不能改变矩阵,因为改变矩阵,特征值就变了,但是我们可以改变空间。相似对角化的本质是,你能否找到足够多的独立方向来支撑起整个空间。实对称矩阵是对各个垂直的方向进行缩放,正交矩阵是只进行旋转和镜像,同时使用这两个矩阵就比较万能了:可以对空间进行各种变换,不会丢失维度,不会抬升维度。任何一个普通的矩阵都可以看作是这两者的结合,这又关联到后面的奇异值分解了——奇异值分解告诉我们,任何一个空间变换都可以视为旋转+缩放+旋转。

四种理解方法

线代还剩下五分之一了,我一个星期把线代干完了。我这里可以给出四种理解方法:第一种,物体——一个矩阵,每一个向量看作空间的一个点,它就构成一个物体,行列式值为该物体体积。第二、三种,行空间与列空间——把每一行看作为一个行向量,该矩阵的所有行向量撑起了一个行空间,而具体是否会坍缩,这取决于是否满秩,列空间同理;同时,你还可以称其为子空间、解空间、零空间、张成空间,它们本质相同。第四种,空间变换算子——将矩阵看作对空间的一个操作,这在游戏制作、数据可视化、机器学习等大有用处。这个核空间,也就是零空间,很有意思:它就是一个黑洞,黑洞会降维。线性代数,到这里基本完结了。如果你不用空间去理解线性代数,你包是白学了:理解够深刻,公式都是废话。线性代数的体系真的浓缩,说白了就是小而精,理解了之后学得飞快,根本没多少内容。

本次线性代数快速推进,没有做题,是因为后面还有期中期末考试,我的目标依然是满分,到时候会再结合学校课程再复习一遍,题目也会全做一遍,是长线任务。我在笔记里留下了大量的问题,深度的总结留给未来的我吧,我相信能解决的。