"刷题刷不出满分",这个月我把数学重新学了一遍

我严重怀疑,以前高中老师教一些公式的时候,神神乎乎的说着很难证明,记着就好,就是因为他自己没学明白。

数学习题最大的问题就是看着会,做的时候不会,所以需要在笔记中加入自动检测该问题的设计,这里直接使用gemini给出方法:首先这是一种幻觉记忆,大脑自动跳过逻辑推演,产生学会了的错觉,核心思路是将"阅读型笔记"转变为"测试型笔记"。注意,这里有一个非常大的思维转变:要刷题转为做题。在做习题笔记,或者将其转为思想,数学工具时,我会大大提高一道题目上所花的时间,不可能在此基础上大量做题了。我们的目标是考高分做对题,而它们只要求理解思想,理解知识点,并不要求达到做题数量。换句话说,如果你没有刻意注重理解,那么你刷题是没有意义的,因为你不知道目标是什么,你发挥不了作用。刷题任务正式从堆量记忆转变为系统的增进理解,这下我就不嫌烦了。

我再通俗说一下分层。第0层:基础知识点或单个问题。你使用这样分层的方法去判断你在解题时学习的状态:如果你只在乎一道题的解答,和其对应的知识点,那么你永远只在第0层;如果你再去学解题模板,也只是第一层,它无法应对灵活的出题。这是所谓"能力不足"的本质,但是这并不是能力不足,更不是天赋。为什么刷题起不到效果?你会发现,你刷题锻炼的东西永远只是第一层的解题模板。只有第一层的工具,你永远不可能做出那些灵活的题目,这从逻辑上直接否认了很多人对于刷题的幻想。灵活的题目考察的就是第二层及以上的东西,你想都不要想,刷题不可能成功。为什么很多人数学学到最后需要靠记忆?因为他们没有高浓度压缩的工具箱,只有散乱的知识点和解题模板。这也是所谓基础不牢的本质——所谓基础不牢就是要去学基础吗?你会发现完全不是了。如果你要打牢地基,你需要的不是材料的数量,而是把材料混合在一起的结构和粘性。刷题堆量,它本身就是一个你自身问题的表现形式,根本不是什么好事,更别谈这是努力了,只是放任问题罢了。做数学一定要靠逻辑;如果你要做到看到题目就能分析出一道题的性质,该用什么方法,该用什么思想,这就需要长期逻辑的训练,而不是公式思维的训练。所以从一开始就不要太依赖公式,尽量看本质。至于公式的简单结论,方便计算,提高速度的,那肯定可以用。之前说的数学工具不是指现成的公式,而是指从各种题目和知识中提取出来的思想,利用这些思想去解题,它就已经涵盖了低级的公式。

数学习题任务第一次完成,只做了几题。我发现,做题思维改变之后,一道题会花特别特别多的时间,我感觉能从一道题里延伸出无数个理解。我需要积累大量的基础数学工具,然后才能回到正常的微积分,线性代数难度,因为我在大学之前完全没有用过这样的思维去积累数学思想。我需要通过现有题目把初高中数学的思想总结完。数学习题的任务工作量比预期要大,一周84页几乎不可能,但是有可能在思想积累到一定量时,效率会有质的突破。所以数学习题的任务量,我以时间定量:一周进行5小时以上的习题任务。我的预期是,做题速度以指数级上升,因为数学思想解决的是一类或多类问题。每一道题可以问AI,解析该题使用的数学思想,并说明我要怎么才能从题目中直接看出需要使用这一思想——这个提示词可以帮你学习题中的数学思想。问AI你可以问一些模糊的问题,然后根据它的回答继续深入;使用这一提问,你会发现,原来自己从题目中能提取的信息如此之少,难怪做不出来。不知道的人甚至不会知道自己不知道,做题也是同样如此,所以我们要想办法把不知道自己不知道的地方给挖出来。对于粗心大意的题目,就算以前已经有整理过,再次遇到时依然会犯类似的错误,这与我们的解题逻辑有关。用肌肉记忆去做题和用思考去做题是不一样的:我们每一步的计算都应该有对应的知识点支撑,我们要通过框架对位到该知识点,但是依赖肌肉记忆是毫无逻辑的。一次数学考试会考到无数个小的知识点,如果靠肌肉记忆,你几乎一定会出错——这根本不是马虎了,这是概率问题,它的出现是必然,不是倒霉。做题时应该注重思维和逻辑,而不是肌肉求解。日本出的题是真的好,真的无法辩驳:我至今没见过一道需要复杂计算的题目,他们每个学校题不一样都是由他们自己的教授出题,这些真正做研究的教授,思维相当的灵活,出的题目也相当牛逼。

再说泰勒公式。它不需要记忆,理解了之后,就如同1+1=2一样自然。泰勒公式的本质就是:用一堆多项式去强行逼近原函数的某一点。当你真的想要去逼近的时候,你会发现问题:你怎么才能知道例如cosx在无限趋于某一点时,它的运动趋势是什么,或者说斜率,曲率等。这时,肯定需要导数——你只要保证导数在趋于该点时,也完全与该函数的导数相同,那么就可以保证斜率,曲率等等完全相同了,于是你就可以逼近该点。什么样的式子,能够让值,导数,高阶导数,与我们想要逼近的那个函数完全相同?对每一项乘以(x-x0):我们需要值的时候,不需要求导,所以我们应该给f(x0)以外的项乘以(x-x0);我们需要一阶导的时候,会求一次导,那么f(x0)自动消失了,此时只剩下f'(x0),正好得到结果。由此,我们得到了逼近一个函数的通用方法。这就是泰勒公式,这是一个很自然的式子,大自然决定了它的唯一性。1+1=2,所以这个式子就长这个样子,你怎么需要背呢。泰勒公式是一个独立成立的公式,你可以在求极限的题目中随便对着一个函数使用,根本就没有什么等价无穷小。如果我们在题目中发现类似泰勒公式等式右边的一些项,我们也可以主动把它给凑成泰勒公式,直接等于泰勒公式的左边,一次性消掉一大堆项——这是背公式的人一辈子都做不到的。这里再给出一个标准:如果你是命题人,你能不能设计出这样的题目,怎么才能设计出这样的问题?如果你能设计出,那么这个知识点,你就精通了。如果你深入理解了一个知识点,你会不由自主地想出来一大堆折磨考生的题目,专治那个死脑筋;如果你不知道该怎么出题,说明你还没学到位。关于背诵的本质:你看到符号A,你能背出符号B,任何一个学科,你都可以这样背,那学科之间的区别呢?你背的东西,本质是一个抽象符号,没有任何意义。假如这样做是有效的,那么你所有学科的成绩完全取决于背诵能力,每一门学科的成绩应该是相等的。输入的内容要在脑中加工,一边理解一边记忆,然后输出,没有理解的记忆是毫无意义的。如果理解可以保障,那么记忆和理解才是不分高低的。比如,我记住泰勒公式的由来,那么这个公式就可以被我灵活随意使用,而不是像背单词一样,看到泰勒公式四个大字,这边脑子自动出现公式。

最折磨我的还是换元。处理指数较大的方程,处理求积分,求极限,处理线性代数相似对角化,它们都共同遵循一个思想:我们要找出影响计算的"复杂函数",把它替换掉,让整个式子满足套用基础公式的条件,最后再替换回来。其中最关键的是,我们怎么替换,才能使得式子能套用基础公式?这取决于我们的观察。但是我想说的是,你可以在任何一道题使用换元,你千万不要背诵,以为只有某些情况才能使用换元。换元就像是,我们先盖住一部分,看这个式子的本质;当你觉得麻烦的时候,你就可以使用,其本身没有任何限制。换元绝不是靠灵感,它有迹可循——换元考验的是你的框架完整度,这再次证明了知识框架的必要性:如果你没有框架,你会觉得换元真的莫名其妙,想一出是一出。换元一定是为了利用某个基础的公式或性质,不可以盲目使用;至于吸收这一思想,需要你在平时做题时感受了。为什么说换元考验的是你的框架?因为换元需要一定程度的联想,框架中的各个支点的联系依靠联想,如果你对于这些联想的发掘足够完整,你就不会觉得这玩意玄学。换元的核心问题是:我要怎么从题目中看出来应该把哪一部分换成什么。未来两个星期内,我想搞一个换元的专题,专门解决所有与换元相关的题目,一劳永逸。虽然灵活,但它们有统一的思想。还有一个专题总结,我称为是普遍计算方法,因为它们是所有计算化简的普遍通用方法,我从各种数学题中经常见到这些思想。普遍计算方法的目的是为了找出计算的统一规律,比如当我们遇到某种情况,就必须通过一种方式做有理化,三角换元,去根号等等,我们要去研究这个东西的通法,这样就是将直觉转化为理性认知。为什么有些地方用积化和差就能有效处理呢,用其他的为什么不行?一旦深入一点,积化和差的本质是欧拉公式,你得从欧拉公式的性质去看待问题,才能在做题中想到去用。提醒一下:欧拉公式你是要学的,虽然我们考试不会提到这个东西,但是有大量的知识都是跟这个东西有关。欧拉公式是底层的东西,考试只是刻意没有提到它,你要是学会了,肯定会更加容易做题的。

你会看到,深挖下去能把学科都连起来:二项式定理,莱布尼茨公式,它们本质就是杨辉三角,却可以体现在乘法和导数两个看起来完全没有关联的公式里。这种就是提取思想,你要是再深挖,真是挖不完,无穷无尽。比如数列线性递推式中的不动点:可以把递推式理解为一个加工函数,不动点就是无法加工的一个情况,你把数列转换到无法加工的情况下,就只剩下单纯的正比关系,求和自然会简单非常多。这也是什么逻辑斯蒂映射的思想,这我也没深入了。把整个函数视为一个变量,两个函数放一起就是一个二元方程;如果这两个函数本身有关联,可以相互转化,那不就是二元方程组了,自由度-1,可以求解。看似复杂的抽象函数的等式求解,其实就是找两个函数的转换关系,实际上这就是x+y=1,结果你自己找到了x=2y这一关系,于是可以求解,这就是本质。对积分的求导不一定是原函数,这同样也与线性有关系:我们以前对于积分求导,觉得这是抵消的,那是因为积分区间的变化是线性的。如果上下限不是简单的x,而是x的函数如x^2,sinx,那么就需要复合求导,得到的是非原函数。本质是先积分再求导,二者顺序不可变化,抵消成为原函数,只是带条件的二级结论而已。这好像与线性变换有些关联,这一块是可以上升到线性代数的,也就是线性变换对于积分的影响。我们可以从线性空间的角度,把线性代数,微积分,概率统计一锅端了,全部合一起。这不定积分还能和数列递推式结合:分部积分把指数增大一位,正好变成了下一项数列。你分部积分不是拿来化简的,是拿来求数列下一项的,谁说分部积分一定要在化简的时候用,不就是个恒等式嘛,正好构成数列递推式。这数学题出的就好像以前的AI视频,突然冒出来个火箭,突然窜出来个恐龙,也不知道这出题人是怎么想到的。人家这分部积分也牛逼,人家本体就是一部分,反而根本没法让你想到用分部积分。一题搞了将近一小时,这题无敌了。初中学的因式分解——我现在得给因式分解单开一个page,记录经验。

当然,痛苦也真实存在。作为微积分和线代的二轮,本轮以习题为主,日语教材和线上课程为辅,仍需要做好笔记,目前该任务处于探索阶段,需要构建工作流,这轮复习会涉及东京大学的真题。我也得承认:我总是想逃避习题任务,因为这比记笔记难得多,若没有习惯会有极大的畏难情绪。寒假进行的数学习题任务,完成质量极低,从今天开始我会从头再做一次,寒假的任务作废。为了强行习惯这个任务,我会直接让我爸监督我打卡,这个问题必须解决。然后,习题推进非常艰难,正确率不到50%,已经一个星期了,我觉得需要修改计划了。数学笔记比我想得还要难以进行:我需要对我记录的每一题了如指掌,才能总结出大量的东西出来,但是我还没总结出来东西,怎么才能做到了如指掌呢。凡是进步的东西,总要突破这样一个个循环。我把做题和笔记任务分开,是不合适的,本质上是因为我时间已经不够用了。得继续修改计划:数学和日语口语任务,是推进型任务,如果你无法一次性推进到下一个阶段,那么你就会一直非常难受的连续卡着很久很久。所以我灵活调整每日任务,在一定程度上保持任务量不变,然后把时间匀给需要一次性突破的任务。等到这个瓶颈突破完毕,再转变为每天打卡的积累型任务。换元太难受了,这周我必定解决这个问题。以后要把笔记写成研究型的探讨笔记。数学工具应当相对独立,条件完整,描述具体——我前一段时间做的数学笔记,只能算是作为后续总结的一个素材,而不是真正的工具。本周数学笔记整理的具体目标,就是根据前两周的数学习题做出一大堆真正的数学理解笔记。数学笔记具体应该详细到什么程度?这一点我们可以参考费曼学习法:教会别人就是教会自己。你的数学笔记,应该能够教会别人,这样你才能强迫自己查漏补缺,避免浮躁,同时,还解决了记忆问题。如果你没有总结过数学思想,你的脑子里会有数学思想这个东西吗?如果你没有总结,你就是没有。需要什么,就去记录什么。为什么你无法考到满分?抽象一点来说,你没把题目完全吸收,导致一直在犯同样的错误;因为忘记了就是忘记了,你甚至不能知道自己忘记了,怎么可能意识到呢。让每一道题目完全吸收,让一个知识点理解后一劳永逸。不好意思,题海战术在数学里就是错的。刷题,刷anki单词,刷抖音,没有区别的,对你的大脑来说,没有区别的。要学会思考,才能学会学习。再次强调学习方法的重要性,它决定了水平的上限。如果你还不去学学习方法,就像那句反问:为什么上了初中就自动解决了小学的数学难题,为什么上了高中就能解决初中的问题?当你的知识深度大于当前所处阶段时,你的上限是远高于考试规定的100分的,这时你做题的成功率会大大提高。我们要超前学习,这带来的学习理解是降维打击的。

这个月,我也把这门课学会了去做题——到月底,空间问题,曲面之类的问题,我们应该系统的去理解。比如:二元函数在三维空间是曲面,当使用二维平面去表达它时,这本质是在做一个降维映射。我们应该从各种坐标系去理解自由度和图像的关系,这样比较系统,可以推理出所有的微积分多维问题。我把这种维度转换,坐标轴变换处理,统一称为映射。一个客观的物体是不存在坐标系的,我们是可以自由选择坐标系的,那么肯定存在简单好用的坐标系,在解题中应该寻找该坐标系,这也是换元思想的体现。我们的微积分有三大思想:求和,换元,映射。整门课都在讲这三样思想,没别的了。掌握这些思想,就无敌了bro。我会思考出来这些东西,都是被那帮老头子出的题逼的,恶心了我整整两个星期——前两个星期,我一天只能做出来三四道题目,一天花好长好长时间,就做出来三四道题目。微积分结束了。我想提出一个观点,比较激进:如果你在看题的时候,看不出来这道题的思路,你就没必要去试了。我们做数学题不是靠蒙思路的,题目会告诉你一切,如果你看不出来,就别做了。你可以问AI怎么才能从题目中看出解题思路,想必会有很大的发现。解题不是靠猜思路,甚至不是靠推理,看到题目想不出来解法就可以放弃了。想想流畅的解题是什么样的,如果不流畅就可以放弃了。