Computer Graphics：下面简称CG,本节有一些不是很懂，直接没摘抄了。如齐次坐标的定义要搞懂。后面要加深学习的话参见CG的专业书籍把
教授推荐书目：<Computer Graphics: Principles and Practices> by Foley,Van Dam, Feiner, and Hughes (Addison-Wesley, 1995).一些参考是notes by Ronald Goldman and by Tony DeRose.
在CG当中，图片被移动、大小改变、3维的被投影为2维等等。这些操作都是通过矩阵完成的，但是这些矩阵的形状是很令人惊讶的。
三维空间当中的变换是由4-4矩阵完成的 。你可能会以为是3-3的矩阵才对。需要4-4，是因为，4个关键操作的其中1个，不能由3-3的矩阵乘法来完成，下面是4个关键操作
平移：把原点变换到其他一个点 P 0 = ( x 0 , y 0 , z 0 ) P_0= (x_0,y_0,z_0) P 0 = ( x 0 , y 0 , z 0 ) P o = ( x o , Y o , z o ) P_o = (x_o, Y_o, z_o) P o = ( x o , Y o , z o )
缩放：所有方向都伸缩因子c，或者不同方向的伸缩因子是c 1 , c 2 , c 3 c_1,c_2,c_3 c 1 , c 2 , c 3 c 1 , c 2 , c 3 c_1, c_2, c_3 c 1 , c 2 , c 3
旋转：绕着经过原点的轴或者经过某个P 0 P_0 P 0 P o P_o P o
投影：投影到经过原点或P 0 P_0 P 0
首先注意2点：
CG当中使用的是齐次坐标(homogeneous coordinates) ，如点 (x,y,z)的的齐次坐标是 (x,y,z,1)，也就是在第4维添加1。
重要：CG当中是使用行向量。所以是 行*矩阵，而不是 矩阵*列
1 平移(Translation)
平移是最简单的，只需要把v 0 = ( x 0 , y 0 , z 0 ) v_0=(x_0,y_0,z_0) v 0 = ( x 0 , y 0 , z 0 ) v 0 v_0 v 0 <01-07>) 。没有任何3-3的矩阵可以移动原点。所以我们把原点的坐标设为 (0,0,0,1),这就是为什么矩阵是4-4的。
原点会被移动到 ( x 0 , y 0 , z 0 ) (x_0,y_0,z_0) ( x 0 , y 0 , z 0 ) v 0 v_0 v 0 R 3 R^3 R 3 v 0 v_0 v 0
Translation Matrix: T = [ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 x 0 y 0 z 0 1 ] \text{Translation Matrix:}\quad T = \left[ \begin{array} { l l l l } 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ x _ { 0 } & y _ { 0 } & z _ { 0 } & 1 \end{array} \right] Translation Matrix: T = 1 0 0 x 0 0 1 0 y 0 0 0 1 z 0 0 0 0 1 可快速检查一下 [ 0 0 0 1 ] T = ( x 0 , y 0 , z 0 , 1 ) \left[\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\\end{matrix} \right] T = (x_0,y_0,z_0,1) [ 0 0 0 1 ] T = ( x 0 , y 0 , z 0 , 1 )
为了把三维点 (0,0,0) 和 (x,y,z) 移动 v 0 v_0 v 0 ( 0 , 0 , 0 , 1 ) ; ( x , y , z , 1 ) (0,0,0,1);(x,y,z,1) ( 0 , 0 , 0 , 1 ) ; ( x , y , z , 1 ) v + v 0 v+v_0 v + v 0 [ x y z 1 ] T = ( x + x 0 , y + y 0 , z + z 0 , 1 ) \left[\begin{matrix} x & y & z & 1 \\\end{matrix} \right] T = (x+x_0,y+y_0,z+z_0,1) [ x y z 1 ] T = ( x + x 0 , y + y 0 , z + z 0 , 1 )
2 缩放(Scaling)
如果要把图片缩放为90%大小，在线代的标准做法是用 0.9 乘以单位矩阵 I 得到的矩阵 S L S_L S L S L S_L S L S S S
Rescale a plane to 0.9: S = [ .9 .9 1 ] Rescale a solid to c: S = [ c 0 0 0 0 c 0 0 0 0 c 0 0 0 0 1 ] \text { Rescale a plane to 0.9: } \quad S = \left[ \begin{array} { l l l } .9 & & \\ & .9 & \\ & & 1 \end{array} \right]
\\[4ex]
\text { Rescale a solid to c: } \quad S = \left[ \begin{array} { l l l l } c & 0 & 0 & 0 \\ 0 & c & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] Rescale a plane to 0.9: S = .9 .9 1 Rescale a solid to c: S = c 0 0 0 0 c 0 0 0 0 c 0 0 0 0 1 所以要注意，线代的 S L S_L S L CI,但在CG，S S S cI，S S S 。如 [x,y,1] 乘以S，才能得到齐次坐标下的正确答案。原点保持不变，因为 [0,0,1]S = [0,0,1]。
如果不同方向伸缩因子不一样，如果需要把x,y，z方向变为 c 1 , c 2 , c 3 c_1,c_2,c_3 c 1 , c 2 , c 3
S = [ c 1 c 2 c 3 1 ] S = \left[ \begin{array} { c c c c } c _ { 1 } & & & \\ & c _ { 2 } & & \\ & & c _ { 3 } & \\ & & & 1 \end{array} \right] S = c 1 c 2 c 3 1 总结 ：缩放矩阵 S 和平移矩阵 T 大小是一样的，它们可以乘起来！ 对于向量v
先平移，后缩放，是 vTS
先缩放，后皮影，是 vST
注意1，2是不等价 的！ R 3 R^3 R 3 ( x , y , z ) (x,y,z) ( x , y , z ) P 3 P^3 P 3 ( x , y , z , 1 ) (x,y,z,1) ( x , y , z , 1 ) P 3 P^3 P 3 P 3 P^3 P 3 R 4 R^4 R 4
CG使用的是仿射变换(affine transformation),也就是：线性变换+平移(shitf)。P 3 P^3 P 3
A = [ a 11 a 12 a 13 0 a 21 a 22 a 23 0 a 31 a 32 a 33 0 a 41 a 42 a 43 1 ] = [ T ( 1 , 0 , 0 ) 0 T ( 0 , 1 , 0 ) 0 T ( 0 , 0 , 1 ) 0 T ( 0 , 0 , 0 ) 1 ] A = \left[ \begin{array} { l l l l } a _ { 11 } & a _ { 12 } & a _ { 13 } & 0 \\ a _ { 21 } & a _ { 22 } & a _ { 23 } & 0 \\ a _ { 31 } & a _ { 32 } & a _ { 33 } & 0 \\ a _ { 41 } & a _ { 42 } & a _ { 43 } & 1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c c } T ( 1,0,0 ) & 0 \\ T ( 0,1,0 ) & 0 \\ T ( 0,0,1 ) & 0 \\ T ( 0,0,0 ) & 1 \end{array} \right] A = a 11 a 21 a 31 a 41 a 12 a 22 a 32 a 42 a 13 a 23 a 33 a 43 0 0 0 1 = T ( 1 , 0 , 0 ) T ( 0 , 1 , 0 ) T ( 0 , 0 , 1 ) T ( 0 , 0 , 0 ) 0 0 0 1 如果是3-3矩阵，那么只有3个输出，也就是输入 (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)的输出。如果只有线性变换，3个输出就可以了。但当变换是仿射的，如上的4-4矩阵会包含(0,0,0)的输出，从而我们可以知道有平移的存在
3 旋转(Rotation) R 2 , R 3 R^2,R^3 R 2 , R 3 + 1 +1 + 1
Plane Rotation Q = [ cos θ − sin θ sin θ cos θ ] becomes R = [ cos θ − sin θ 0 sin θ cos θ 0 0 0 1 ] . \text{Plane Rotation }\quad Q = \left[ \begin{array} { c c } \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array} \right] \text { becomes } \quad R = \left[ \begin{array} { c c c } \cos \theta & - \sin \theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right] . Plane Rotation Q = [ cos θ sin θ − sin θ cos θ ] becomes R = cos θ sin θ 0 − sin θ cos θ 0 0 0 1 . 如上矩阵是把平面绕着原点 旋转，但如果要绕不同的点，如(4,5) 旋转怎么办？答案展示了齐次坐标的美丽之处：
把(4,5)平移到(0,0):v T − vT_- v T −
旋转 θ \theta θ v T − ∗ R vT_{-} * R v T − ∗ R
把(0,0)平移回去(4,5): v T − R ∗ T + vT_{-}R * T_{+} v T − R ∗ T +
v T − R T + = [ x y 1 ] [ 1 0 0 0 1 0 − 4 − 5 1 ] [ cos θ − sin θ 0 sin θ cos θ 0 0 0 1 ] [ 1 0 0 0 1 0 4 5 1 ] \boldsymbol { v } T _ { - } R T _ { + } = \left[ \begin{array} { l l l } x & y & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array} { r r r } 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ - 4 & - 5 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c c c } \cos \theta & - \sin \theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 4 & 5 & 1 \end{array} \right] v T − R T + = [ x y 1 ] 1 0 − 4 0 1 − 5 0 0 1 cos θ sin θ 0 − sin θ cos θ 0 0 0 1 1 0 4 0 1 5 0 0 1 注意，因为 v 是行向量，所以 T − T_- T − ( 0 , 0 , 1 ) (0,0,1) ( 0 , 0 , 1 ) T + T_+ T +
三维下，旋转矩阵Q都是绕着一个轴 旋转的，这个轴是不会移动的--它是λ = 1 \lambda = 1 λ = 1
Q = [ cos θ − sin θ 0 sin θ cos θ 0 0 0 1 ] and R = [ 0 Q 0 0 0 0 0 1 ] Q = \left[ \begin{array} { c c c } \cos \theta & - \sin \theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \quad \text { and } \quad
R = \left[ \begin{array} { r r r} & & & 0 \\ & Q & &0 \\ &&&0 \\ 0&0&0&1 \end{array} \right] Q = cos θ sin θ 0 − sin θ cos θ 0 0 0 1 and R = 0 Q 0 0 0 0 0 1 现在假设是绕着单位 向量 a ⃗ = ( a 1 , a 2 , a 3 ) \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) a = ( a 1 , a 2 , a 3 )
Q = ( cos θ ) I + ( 1 − cos θ ) [ a 1 2 a 1 a 2 a 1 a 3 a 1 a 2 a 2 2 a 2 a 3 a 1 a 3 a 2 a 3 a 3 2 ] − sin θ [ 0 a 3 − a 2 − a 3 0 a 1 a 2 − a 1 0 ] (1) Q = ( \cos \theta ) I + ( 1 - \cos \theta ) \left[ \begin{array} { c c c } a _ { 1 } ^ { 2 } & a _ { 1 } a _ { 2 } & a _ { 1 } a _ { 3 } \\ a _ { 1 } a _ { 2 } & a _ { 2 } ^ { 2 } & a _ { 2 } a _ { 3 } \\ a _ { 1 } a _ { 3 } & a _ { 2 } a _ { 3 } & a _ { 3 } ^ { 2 } \end{array} \right] - \sin \theta \left[ \begin{array} { r r r } 0 & a _ { 3 } & - a _ { 2 } \\ - a _ { 3 } & 0 & a _ { 1 } \\ a _ { 2 } & - a _ { 1 } & 0 \end{array} \right]
\tag{1} Q = ( cos θ ) I + ( 1 − cos θ ) a 1 2 a 1 a 2 a 1 a 3 a 1 a 2 a 2 2 a 2 a 3 a 1 a 3 a 2 a 3 a 3 2 − sin θ 0 − a 3 a 2 a 3 0 − a 1 − a 2 a 1 0 ( 1 ) 这个轴不会转动，因为 a ⃗ Q = a ⃗ \vec{a}Q = \vec{a} a Q = a
线性变换的Q总是在R的左上角，Q的下面都是0，这时因为旋转不会移动原点。如果最小面不是0，那么变换就是仿射，原点会被移动
4 投影(Projection)
在线代课程，大多数平面会经过原点，但现实当中，大多数平面不经过原点。
经过原点的平面是向量空间
不经过原点的是仿射空间，它是将向量空间平移形成的
我们想要将三维向量投影到平面。设这个平面经过原点，并且其单位法向量是 n ⃗ \vec{n} n n ⃗ \vec{n} n n ⃗ T v ⃗ = 0 \vec{n}^T\vec{v} = 0 n T v = 0 投影到这个平面的矩阵是 I − n n T I - nn^T I − n n T .向量乘以这个矩阵即可投影到这个平面，而 n 会被投影为0，平面内的向量 v 投影为自身
( I − n n T ) n = n − n ( n T n ) = 0 and ( I − n n T ) v = v − n ( n T v ) = v \left( I - n n ^ { \mathrm { T } } \right) n = n - n \left( n ^ { \mathrm { T } } n \right) = 0 \quad \text { and } \quad \left( I - n \boldsymbol { n } ^ { \mathrm { T } } \right) v = v - n \left( n ^ { \mathrm { T } } v \right) = v ( I − n n T ) n = n − n ( n T n ) = 0 and ( I − n n T ) v = v − n ( n T v ) = v 在齐次坐标下，投影矩阵变为4-4(注意原点不移动)：
Projectin onto the plane: n T v = 0 P = [ 0 I − n n T 0 0 0 0 0 1 ] \text{Projectin onto the plane:}\quad n ^ { \mathrm { T } } v = 0 \qquad
P = \left[ \begin{array} { c c c c}& & & 0 \\ I - n n ^ { T } & & & 0 \\&&&0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] Projectin onto the plane: n T v = 0 P = I − n n T 0 0 0 0 0 0 1 现在投影到不经过原点的平面 n ⃗ T ( v − v 0 ) = 0 \vec{n}^T(v-v_0) = 0 n T ( v − v 0 ) = 0 v 0 v_0 v 0 v 0 v_0 v 0
投影到放射空间，需要3步骤：
用 T − T_- T − v 0 v_0 v 0
沿着n的方向投影
沿着行向量v 0 v_0 v 0
T − P T + = [ I 0 − v 0 1 ] [ I − n n T 0 0 1 ] [ I 0 v 0 1 ] T _ { - } P T _ { + } = \left[ \begin{array} { r r } I & 0 \\ - v _ { 0 } & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c c } I - n n ^ { \mathrm { T } } & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c c } I & 0 \\ v _ { 0 } & 1 \end{array} \right] T − P T + = [ I − v 0 0 1 ] [ I − n n T 0 0 1 ] [ I v 0 0 1 ] 注意T − , T + T_-,T_+ T − , T +
习题还出现反射(reflection)矩阵，也称为镜像(mirror)矩阵，这个CG需要第五种变换。反射移动的距离是投影的2倍：反射会穿过平面，把图像放倒平面的另一边 。所以只要阿静投影矩阵的 I − n n T I - n n ^ { \mathrm { T }} I − n n T I − 2 n n T I - 2n n ^ { \mathrm { T }} I − 2 n n T