1. 前言

上图是MIT线代的封面,展示的是四大子空间(four fundamental Subspaces):

• 行空间和零空间在左边
• 列空间和$A^T$的零空间在右边

把本书主题的中心思想展示成这样的图片是很少见的!

这四个子空间,从矩阵A开始.A的每一行是一个n维空间的向量.当一个矩阵有m行时,每一列是一个m维空间的向量.线性代数至关重要的操作是向量的线性组合(linear combination of vectors).我们取所有列向量的线性组合,得到列空间.如果这个空间包含向量b,那么我们可以解决等式 $Ax = b$

等式Ax = b使用了线性代数的语言.向量Ax是A的列的一个组合(combination of the columns of A).这个等式要求一个可以产生b的组合(a combination that produces b).解向量(solution vector) x存在了三个层次,都很重要:

1. Direct solution ： 用向前消去(forward elimination)和向后替换(back substitution)求解x.

2. Matrix solution ：使用矩阵A的逆:$x= A^{-1}b$,如果A有逆的话

3. Vector space solution： 特解(Particular solution):$Ay = b$ 加上零空间解(nullspace solution)$Az = 0$

很多超级计算机都有测试Ax = b的速度.这是纯粹的线性代数.IBM在2008年的速度是$10^{15}/sec$的新纪录.就算是超级计算机也不想要计算逆矩阵:太慢了.逆操作给出了最简单的公式 $x =A^{-1}b$ ,但不是最快的速度.而且,任何一个人都应该知道,行列式(determinant)甚至更慢:任何线性代数的课程都不应该从n*n行列式的公式开始讲起.这些公式有一定重要性,但不是最重要的

微积分主要用在于特别的操作(导数)和逆操作(积分)--我承认微积分很重要....但是很多数学是离散的而不是连续的,是数字的而不是模拟的(discrete rather than continuous,digital rather than analog).数据的时代已经来临!!!你会在我的网站找到一个文章叫做 "too many Calculus".The truth is that vectors and matrices have become the language to know!