数学素养是天生的吗？试试这套训练！

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目录

• 数学素养是天生的吗？
• 数学基本素养的三条定义
• 如何从无到有：模仿学习法
• 试错与实践：寻找下一个例子
• 训练的意义与入门标志
• 频道训练建议与反馈
• AI 总结

数学素养是天生的吗？ *Content-[00:00]

• 灵根比喻：很多人认为数学基本素养就像修仙设定的“灵根”一样，似乎与生俱来，没法培养。如果没有这种素养，数学学习就像西西弗斯推石头，每天重复而无意义。
• 物理老师的困惑：一位中学物理老师私信分享，他从初中开始就有这种素养，但尝试将这种素养教给十几个学生后全部失败。差的学生没法教，好的学生只需稍微引导就会自然提高。这种现象让学生和老师都相信数学能力有如“仙凡之别”的巨大差异。
• UP主的反例：UP主坦言自己以前也没有所谓的数学素养和天赋，但经过一段时间的训练后，掌握了让素养从无到有的方法，对数学的认识不再是虚无缥缈。

数学基本素养的三条定义 *Content-[02:20]

数学基本素养只是门槛，但在很多人眼里已是所谓的“天赋”。UP主定义了三条基本素养：

1. 从数学学习与实践中挖掘数学理解

• 核心：举一反三。解决问题后，提取其中的 idea、经验、可复用的理论方法或技术难点攻克方式。
• 对比：
  • 有素养的人：解决一个问题，就能解决无穷多个同类问题，因为得到了观点和数学理解。
  • 无素养的人：做一题只是一题，下次能否做仅取决于记忆力和题目相似度，稍有变化就不会做。
• 例子：做了一个不等式问题或找到背后一般性命题，领悟证明的关键 idea，就能用该 idea 解决无数问题。入了数学门的人，必定有此能力，只是抽象和推广的强弱不同。

2. 把数学理解压缩为工具

• 定义：工具不仅是公式，更是打造好的数学观点、思维模型、可重复利用的技术手段和数学思路。它是很多理解融合成的产物。
• 压缩技术：将庞大经验和众多例子压缩成几句话，方便今后从各层级调用，并能无损解压展开。
• 收纳比喻：像把整个家折叠放进口袋，到外地后原地无损打开，家具齐全。
• 传承：有素养的人都有自己独特的一套工具，且互相之间有传承、学习模仿和改进。UP主主要借用陶哲轩和高尔斯的格式和叫法。

3. 对工具的能力边界进行界定，利用工具解决新问题，持续维护升级

• 界定边界：知道工具在什么时候有用，什么时候失效或没什么大用。
• 解决新问题：利用学到或自己打造的工具，解决没见过的新数学问题。
• 维护升级：在不断实践中，对过去打造的数学工具进行持续维护和升级。

如何从无到有：模仿学习法 *Content-[06:39]

• 借火比喻：就像人类取得火种，钻木取火很艰难，最简单的办法是向有火的人借火。第一步应直接找到一套成熟的工具箱，而不是从头打磨。
• 打磨工具的耗时：从微积分概念极限到领悟出 idea（如 aion room *），配备具体案例论证有效性、界定边界、找到想法体现，快的人需小半年，慢的人需两三年。要达到本科或竞赛水平，起码需一二十个红点（工具）和两三百个白点（具体案例），花费巨量时间。
• 模仿学习的核心方法：
  • 找到一套成熟的、对应你感兴趣/有需求主题（中学、大学或研究生领域如调和分析、微分几何）的工具箱，开始模仿。
  • 翻倍法则：如果工具给了3个典型例子，就以这3个为参照，再添3个典型例子，让例子翻倍。做十几个这样的工具，基本就什么都会了。
  • * 格式明确的笔记示例：上面写了几个例子，你就让它翻倍。
• 好的工具格式：
  • 别人告诉你被压缩过的观点，并展示如何将压缩观点在具体案例上细致丰富地展开。
  • * Tricky 上关于群论与拓扑联系的示例：先用一段 general discussion 进行抽象描述 idea，然后举例子说明 idea 在具体案例中如何发挥作用。目标：将原有的4个例子变成8个，且新例子与原例子越不一样越好，能力提升越快。

试错与实践：寻找下一个例子 *Content-[12:05]

• 寻找例子的难度：知道哪些例子适用于工具并不容易。可以借助 AI，但 AI 可能误解工具给出八竿子打不到的例子，需自己分辨。
• 数学需要试错：素养培养像学开车、学游泳，必须弄脏双手在实践中学，光听课看书是学不会的。
• 老师的作用：只能指导学生找的例子是否符合 idea，坚决不能直接告诉第五个例子是什么，否则训练变成听课，失去实践意义。
• 物理老师的试锁法：做教辅书习题时，自然回忆工具，像拿很多把钥匙逐个试开一把锁，试的过程让人长进。正确的方法总是殊途同归。
• 如何找到下一个例子：
  • 每天接触的20-30个案例中，如果工具恰好是你正在学且感兴趣的，这200个案例（十天累积）里多半有一两个是你找的下一个例子。但究竟是哪个，必须去试。
• 培养主动思考习惯：
  • 强行要求自己带着找例子的目标去学习，测试手头工具是否适用、为什么适用或不适用。
  • 听课、看解答、自己想问题时，敏锐捕捉关键 moment：突然看到某个结构或想到某个东西，瞬间意识到它可能是正在找的某个工具的重要素材或下一个例子。
• 记录与写作：疑似可以添加的例子先写下来，积累想法、经验和试错记录，过段时间再做细致判断。

训练的意义与入门标志 *Content-[17:57]

• 训练目标：找十个工具，把每个工具对应的典型例子翻一倍。
• 训练完成的意义：在这一过程中，你会学会数学学习中非常基本的东西。
• 入门标志：
  • 训练完成即意味着你已经入门。
  • 今后的学习不再是竹篮打水或给漏水水桶加水，你的桶已经没有任何缝隙，水位会稳定上涨，不再漏水。
  • 后续只需学更高深工具、找更好老师、做更有质量问题、学更多理论即可。

频道训练建议与反馈 *Content-[18:33]

• 频道优势：UP主的每个数学视频几乎都在讲某种数学理解或工具，直接展现 idea 并一点点展开（一般视频只给证明或稍微讲思路）。
• 训练方式：
  • 把视频中的理解再找一个案例出来。
  • 或者工具讲了4个例子，你再找4个例子（兴趣不大找1个也可以）。
• 呼吁：如果在学UP主讲的相关主题且想培养基本素养，在这个频道练起来会轻松很多。试一试，定期在留言区发 feedback，验证该方法在其他人身上是否同样有效。

AI 总结

本视频探讨了数学素养是否天生，并提出了一套后天训练方法。UP主指出，数学基本素养并非不可培养的“灵根”，其包含三个层次：1. 挖掘数学理解（举一反三提取 idea）；2. 压缩理解为工具（融合经验与思路，可无损解压）；3. 界定边界并持续升级工具。核心训练方法为“模仿学习法”：直接借用成熟工具箱（如陶哲轩、高尔斯的格式），通过将工具中的典型例子翻倍（寻找不同但适用同一 idea 的新例子）来深化理解。寻找例子需要主动试错与实践，如同拿钥匙试锁，不能仅靠听课。完成此训练意味着数学入门，知识体系不再流失，并能培养出主动思考和敏锐捕捉数学结构的习惯。