【数学自学指南】把书读厚然后读薄：具体操作
我国著名数学家华罗庚曾说，读书特别是读数学书的秘诀在于“把书读厚然后读薄”。本视频基于个人实践心得与经验分享，探讨这句话的具体操作方法。所有操作均基于写作以及写作与数学学习之间的关联提出，关于写作的诸多细节与疑问，可参考视频下方链接中的往期视频。
目录
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- 1. 引言 *Content-[00:00]
- 2. 把书读厚：添加补充说明 *Content-[00:35]
- 3. 把书读厚：理解证明思路 *Content-[01:42]
- 4. 把书读厚：提出疑问与自我解答 *Content-[03:10]
- 5. 把书读薄：抽象的关键 *Content-[03:49]
- 6. 把书读薄：具体操作与案例 *Content-[05:30]
- 7. 把书读薄：数学对象的抽象 *Content-[09:51]
- AI 总结
1. 引言 *Content-[00:00]
我国著名数学家华罗庚曾说，读书特别是读数学书的秘诀在于“把书读厚然后读薄”。本视频基于个人实践心得与经验分享，探讨这句话的具体操作方法。所有操作均基于写作以及写作与数学学习之间的关联提出，关于写作的诸多细节与疑问，可参考视频下方链接中的往期视频。
2. 把书读厚：添加补充说明 *Content-[00:35]
在读书过程中，首先会添加大量的补充说明。何为补充说明？以命题 1.1 为例：
- 扩展实数系说明：确认变量 或 有没有可能是无穷大，从而补充这是在扩展实数系当中。
- 一句话概括：用一句话去概括整个命题。
- 等价描述：例如关于第二条性质，它可以等价认为是什么，等价怎样去描述。
- 具体例子：一些不容易理解概念的具体例子。
- 必要性说明：某些条件的必要性说明。
这些都是读完一个例子、一个命题、一个定理后的补充说明，必须经过思考和推敲才能够得到。
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3. 把书读厚：理解证明思路 *Content-[01:42]
读厚的第二个关键是对整个证明思路的理解。数学学习中很关键的一点是学习别人的证明，因为别人的证明中包含了他们对数学问题的理解，研读证明能增加我们自身的理解。
以 Riesz-Fischer 定理为例，首先要认识到一件事：什么是书？书本在撰写证明时，为了叙事的流畅和证明的严谨性等因素，通常不会专门剖析证明的思路、想法的来源以及试错的过程。但作为读者，若想真正学会证明并举一反三，必须自己来做这件事——剖析证明中的核心思路：
1. 说明定理具体要证明什么。
2. 怎么概括这样一个定理。
3. 剖析中间的构造和思路究竟是什么。
4. 提炼主要想法。
5. 步骤的说明。
6. 完成整个证明。
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4. 把书读厚：提出疑问与自我解答 *Content-[03:10]
把书读厚的最后一个内容是提出疑问，并自己尝试解答。
- 这个过程并不容易，提出疑问后往往自己没有能力解答。
- 此时需要求助网络、教育资源（如老师或朋友）。
- 在自我解答时，往往需要自行补充一些学到或查到的结果，这也是一种把书读厚的操作。
5. 把书读薄：抽象的关键 *Content-[03:49]
如果只是单纯把书读厚而没有读薄，离真正的理解还差一个境界。把书读薄的关键在于抽象。
回望 20 世纪数学史，过去 100 年里数学发生了翻天覆地的变化——信息爆炸，新结果像雨后春笋般冒出。由于信息过载，每个人接收信息和学习数学的能力有限，为了方便交流、表达和学习，必须压缩信息，而压缩信息靠的就是抽象。这就是现代数学如此抽象的原因。
抽象分为两类： 1. 数学对象的抽象：平常看到的推广化的概念、推广化的命题、更为一般化的理论。 2. 数学操作的抽象（数学思想的抽象）：在处理数学过程、解决问题过程中，对方法或思路的抽象。
整个过程类似“炼油”：把书读厚阶段输出的大量素材，在抽象作用下会提炼出一点点精华。这精华虽然少，但非常有用，能够简化整个材料，并赋予我们更抽象的思维方式。
6. 把书读薄：具体操作与案例 *Content-[05:30]
回到 Riesz-Fischer 定理思路概括的案例，想要真正实现抽象，只学一个定理/结果是不行的。
- 先把输出的材料放在这里，见识更多问题，解决更多问题，读更多书。
- 等素材积累到一定量后，通过联想、类比等手段，发现某些材料之间具有共性。
- 发现共性后，发挥抽象能力，看能否用一个统一的思路去概括这种共性。
- 在头脑中构建一幅图案、一个说法、一种理论，概括“为什么这些材料都是这么做”、“这种做法是否具有普遍性”、“我可以怎样一般化这个做法”，这就称之为工具或 idea。
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抽象后，对 Riesz-Fischer 定理的理解可以极度简化：
- 第一部分跟原版一模一样。
- 后面证明的主要想法只需两段话概括所有动机。
- 技术细节仅需一段话。
- 剩下的内容通过超链接指向
to-idea（如指向第一个超链接“用子列来提升收敛的性质”）。
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为什么这样能简化思考并增加效率？ 因为 idea 是从众多东西里提炼出来的。例如“用子列来提升收敛的性质”不仅仅用在 Riesz-Fischer 定理中，也不是仅从该结果提炼，而是从很多其他结果（8个结果）共同汇聚而成的。
- 相当于创造了一个公共节点或标准零件。
- 过去的材料重复利用到它，就不需要在每个文本里大写特写其思路，只需一个节点/笔记专门写这个思路。
- 总结以前写过的材料中该思路的体现（如 Riesz-Fischer 定理中用一段话概括，强大数定律中用一小段话体现）。
- 今后发现类似情景时，可以模块化思考：要不要找一个更好的子列来实现证明。
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7. 把书读薄：数学对象的抽象 *Content-[09:51]
最后补充一点，抽象不仅仅是对方法的抽象，还有对数学对象本身的抽象。
- 看能否用一个更一般化的结果去合并所有的特例。
- 提出或证明一个一般的结果或一般的概念。
- 用这个一般的结果/概念改造以前写过的内容，尽量把以前写的内容变得更简短。
AI 总结
本视频详细解读了华罗庚“把书读厚然后读薄”的数学学习秘诀。把书读厚包含三个步骤：1. 添加补充说明（如扩展实数系说明、一句话概括、等价描述、具体例子、必要性说明）；2. 深入理解证明思路（自行剖析书本未明写的核心想法、构造和试错过程）；3. 提出疑问并自我解答（补充查证的结果）。把书读薄的核心在于抽象，这是应对信息爆炸、压缩信息的必然方式。抽象分为两类：数学对象的抽象（推广概念与理论）和数学操作的抽象（提炼方法与思路的 idea）。通过积累素材、发现共性、提炼出公共节点（如“用子列来提升收敛的性质”作为标准零件），可以实现模块化思考，极大简化笔记与思维过程。最终，通过提出一般化的结果合并特例，进一步精简内容，达到真正透彻的理解。