【数学自学指南】为什么刷了很多题还是没提高
Content-[00:00] 引言：刷题无效的困境与“游戏心态”
目录
数学自学指南：为什么刷了很多题还是没提高
目录
*Content-[00:00] 引言：刷题无效的困境与“游戏心态” *Content-[00:40] 核心原则一：有效题目原则（拒绝无效努力） *Content-[02:32] 无效题目的两种情况：难度不匹配与缺乏思考 *Content-[07:09] 核心概念：对问题的抽象程度（圆盘理论） *Content-[13:35] 提升建议一：建立记录与写作的习惯 *Content-[18:08] 提升建议二：重视理解与深度复盘 *Content-[19:20] 结语：用科学检验总结的正确性
引言：刷题无效的困境与“游戏心态” *Content-[00:00]
很多同学在数学学习中感到焦虑，草稿纸做了一摞又一摞，题刷了一堆又一堆，但成绩和水平却不见提高。经过分析发现，这往往是因为没有正确的做题思路，只是单纯地“不服气”，进行机械性的刷题。
这种状态就像打游戏：把把都输，却不反思原因，只想着“下一把一定会不一样”，然后不断重开。实际上，如果不改变策略，结果没有任何区别。学习数学不能像打游戏一样“又菜又爱玩”，必须讲究科学的方法。
视频开篇引用华罗庚名言：“读书特别是读数学书的秘诀在于把书读厚，然后读薄。”引出本次分享的主题——具体的操作方法。
核心原则一：有效题目原则（拒绝无效努力） *Content-[00:40]
并不是做的题目越多越好。对于AI（如DeepSeek）来说，数据量越大越好，但人的时间和生命是有限的。学生生涯无法支撑做完几百万道题。因此，必须讲究有效题目。
什么是有效题目？ 做了这个题目后，你对此类问题、对整个数学的理解有没有加深？如果没有，做了跟没做没什么区别。不要以为坐在课桌前一两个小时看起来很辛苦就一定会有回报。学习是科学，不以人的主观意志为转移。走对了正确的道路，用了正确的方法，才会导出正确的结果。
幻灯片标题：“把书读厚然后读薄：具体操作”。这是基于个人实践的心得体会分享。
讲解“添加补充说明”的重要性，例如等价的说法、不容易理解的概念的具体例子等。
无效题目的两种情况：难度不匹配与缺乏思考 *Content-[02:32]
无效的题目主要有两种情况，它们都无法增加对数学的理解：
1. 题目与水平完全不匹配
- 太难： 比如初中生去做博士生资格考试的题目。即使做了一千个，也无法理解背后的逻辑，因为没有吸收的地方。
- 太简单： 比如博士生去做小学一年级的口算题。即使做了一万个，对数学理解的深度也没有任何增加。
- 结论： 题目难度必须恰到好处，既不至于难到完全无法吸收，也不至于简单到毫无挑战。
2. 难度合适但缺乏深度思考（背诵式学习）
即使题目难度合适，如果看完解答后只是机械地记忆步骤（如：第一步放缩，第二步求和，第三步取极限），而没有思考背后的逻辑，也是无效的。
- 案例： 夹逼准则的应用。
- 如果你只知道“这道题要用夹逼”，却不知道为什么这道题能用夹逼，而别的题不行，那你什么都没学会。
- 关键思考点：
- 函数的性质是什么？（例如光滑性，适合泰勒展开）
- 为什么要这样放缩？（为了保证求和后的形式更简单，同时满足精度要求，即上下界极限相等）。
- 如果不能回答这些问题，下次题目稍作变形（如将 换成 ），你就不会做了。这说明你只是在背诵解题流程，而非掌握数学思想。
展示 Riesz-Fischer 定理的英文原版证明过程，强调阅读原始文献和理解证明严谨性的重要性。
对定理进行具体说明和主要想法的概括，展示了如何从复杂的证明中提取核心逻辑。
核心概念：对问题的抽象程度（圆盘理论） *Content-[07:09]
要真正学会一个数学主题，需要对其进行抽象。
圆盘比喻：
- 假设你要攻克某个数学主题（如三角函数、数学分析），这就像要覆盖一片区域。
- 圆心： 你做过的题目、看过的定理、别人的解答。
- 半径： 你对这个问题的抽象程度（理解的深度）。
- 覆盖范围： 半径越长，能覆盖的变体问题就越多。
抽象程度的重要性示例：
- 低抽象（初中生视角）： 会做 的分母有理化，但遇到 就不会了。因为他认为这是两个不同的问题，没看出本质都是利用平方差公式。
- 高抽象（高中生/大学生视角）： 一眼看出 和 是同一类问题（分母实数化/有理化），本质都是 形式乘以 。
- 结论： 抽象程度决定了圆盘的半径。抽象程度极低的人，需要做成千上万道题才能覆盖考点；抽象程度高的人，做一道题就能掌握一类题。
幻灯片详细解释了“对问题的抽象程度过低”的问题，并用圆盘覆盖区域的比喻来形象说明。
手写演示了具体的代数例子，对比 和 ，说明如何通过抽象思维识别同类问题。
提升建议一：建立记录与写作的习惯 *Content-[13:35]
如何提高抽象程度和复盘效果？第一个建议是有记录和写作的习惯。
理由 1：捕捉飘忽不定的想法 人类的想法（灵感、直觉）往往是飘忽不定、一闪而过的。只有能用语言具体写下来的想法，才能真正被捕捉到。一旦捕捉到，就可以通过更多的例子和思考逐步加深理解。
- 反例： 很多人凭“感觉”做题，说不出这类问题的主要想法是什么，每一步为什么要这么做。这是凭借本能学数学，效率低下。即使是泰森也需要专业训练，不能只靠体格（本能）。
理由 2：建立联想与修正 写下来之后，你在未来遇到新问题时，才有可能联想到过去的想法。如果不写下来，想法就会像烟雾一样消散。
- 动态笔记： 笔记不是刻碑，不是一成不变的。随着见识的增长，你会发现自己以前的理解是肤浅的，需要去修改、完善笔记。这种“改动”的过程就是理解加深的过程。
写作内容示例： 以 Vieta Jumping (韦达跳跃) 为例，不要只抄题，而要写下其大致思路：构造二次方程、利用韦达定理寻找更小解、导出矛盾等。
幻灯片列出第一点建议：“有记录和写作的习惯”。强调想法只有具体写下来才能被捕捉。
展示了关于 "Vieta jumping" 的详细笔记结构，包括大致思路、集合定义和反证法逻辑。
提升建议二：重视理解与深度复盘 *Content-[18:08]
第二个建议是重视理解和重视复盘。每做完一个问题，都要进行自我提问和总结：
- 推广性： 这个方法是否可以推广？是否在类似的问题中有效？
- 抽象性： 其中关键的方法和技术，我是否可以抽象出来？我是否已经掌握？
- 失败分析： 如果我尝试失败了，原因是什么？有没有什么做法可以避免这样的失败？
检验标准： 不要光停留在思考或总结上，必须实践检验。找一个新的、类似的或更难的问题来做。
- 如果能做出来，说明总结是对的。
- 如果做不出来，说明总结有问题。 科学讲究对错，结果不会因为你的态度、兴趣或感情而改变。只有通过做题验证，才能确认你是否真正掌握了该思想。
幻灯片列出第二点建议：“重视理解重视复盘”。列出了具体的自省问题，如“是否可以推广”、“关键方法是否掌握”等。
强调总结之后必须进行检验，画了一个叉号表示如果不检验，总结可能是错误的。
AI 总结
本视频深入剖析了数学学习中“题海战术”失效的根本原因，提出了从“机械刷题”转向“科学学习”的两个核心原则：有效题目原则和深度抽象原则。
- 拒绝无效努力：题目难度需匹配当前水平，且解题过程不能止步于背诵步骤，必须理解背后的逻辑（如为什么要这样放缩、为什么要用这个定理）。
- 提升抽象能力：通过“圆盘理论”形象地说明了抽象程度决定了知识覆盖面。高手能通过抽象看到不同题目背后的共性（如分母有理化的本质），从而举一反三。
- 行动指南：
- 写作记录：将瞬时的灵感和解题思路具象化，建立可迭代的知识库，促进新旧知识的联想。
- 深度复盘：每做完一题，都要思考方法的推广性、技术的抽象性以及失败的原因，并通过新题目验证自己的总结是否正确。
视频强调，学习数学不是靠本能或感动自己，而是一门讲究对错和方法的科学。只有通过不断的抽象、记录和验证，才能真正实现从“把书读厚”到“把书读薄”的飞跃。